Cálculo de Estructuras de Acero: Caso de las Vigas

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Caso de las Vigas

Se denomina viga a una barra prismática, generalmente situada en posición horizontal que puede estar apoyada en dos o más puntos, o empotrada -como se verá más adelante- en uno de sus extremos. Cada punto de apoyo puede tener dos grados de libertad (desplazamiento según el eje x y giro alrededor de y, figura 1) o sólo uno (giro alrededor del eje y sin posibilidad alguna de desplazamiento). Si un apoya está empotrado, no tiene ningún grado de libertad (ni desplazamientos ni giros).

Llamaremos viga simplemente apoyada aquella que presente dos apoyos: uno simple con dos grados de libertad, y otro simple son uno sólo (Figura 1a).

Llamaremos viga semiempotrada la que tiene un apoyo simple (dos grados de libertad) y otro sin ningún grado de libertad (empotrado, Figura 1b).

Viga con los extremos empotrados, cuando ambos apoyos no tienen ningún grado de libertad (Figura 1c).

Viga en voladizo aquella que tiene un extremo empotrado y el otro sin apoyo alguno.

Al apoyar sobre uno o varios puntos del plano central zy de una viga, cargas situadas en ese plano (fuerzas en la dirección –z), la viga se flexiona y toma una forma determinada, llamada elástica de la viga. Es importante estimar, en función de las características de la viga, de su forma de apoyo en los extremos y de las cargas que actúan sobre ella, la deformación máxima, llamada flecha, así como los puntos en los que las tensiones son máximas y los valores de estas. Un proyecto se considerará correcto, si esos valores no sobrepasan los fijados por las normas de construcción para estructuras metálicas.

Al aplicar las cargas ya mencionadas, se generan en los puntos de apoyo unas reacciones en la misma dirección de las cargas pero en sentido contrario, de tal forma que -una vez alcanzado el equilibrio estático- deberá cumplirse que la suma de las fuerzas sea nula:

$R_{1}+R_{2}=\sum _{k=1}^{n}P_{k}$

El esfuerzo Cortante en las Vigas

Si se supone que cualquiera de las vigas representadas en las Figuras 1 se divide en dos trozos por una sección recta cualquiera situada a la distancia x del apoyo de la izquierda y que se prescinde del fragmento de la derecha de la sección, para que el trozo resultante se mantenga en equilibrio hay que suponer que en esa sección actúa una fuerza V(x) en la misma dirección y sentido contrario a las fuerzas que se ejercen sobre la viga, de forma que:

$V(x)=R_{1}-(P_{1}+P_{2}+...)=R_{1}-F(x)$

F(x) es una función que depende de la distribución de las cargas sobre la viga. El equilibrio estático exige que $R_{1}+R_{2}=F(L).$. Cuando x = 0, V(x) = R₁ y cuando x = L, V(L) = - R₂. Esto significa que, en todos los casos, el valor V(x) pasa de un valor positivo a otro negativo. Siendo la función V(x) continua, deberá presentar en algún punto determinado de la viga un valor nulo: x = a, V(a) = 0.

La distribución de esta fuerza cortante en una sección cualquiera de la viga perpendicular al plano neutro, se puede considerar, en la mayor parte de los casos prácticos, uniforme en la dirección z, pero no en la y. Esta distribución depende de la forma de esta sección. Se exponen tres ejemplos:

a) Sección rectangular $\tau (x)={\frac {V}{2.I_{y}}}({\frac {h^{2}}{4}}-y^{2})$

b) Sección circular $\tau (x)={\frac {V.r}{3.I_{y}}}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}$

c) Sección en $I$ $\tau (x)={\frac {V}{I_{y}.b_{1}}}[{\frac {b}{8}}(h^{2}-h_{1}^{2})+{\frac {b_{1}}{2}}({\frac {h_{1}^{2}}{4}}-y^{2})]$

Como puede observarse, en todos los casos el valor máximo de la tensión cortante se sitúa en el centro de la figura (y = 0). El valor medio de $\tau$ se expresa como $\tau _{m}={\frac {V}{A}}$, la relación entre este valor y el máximo en cada caso vale:

a) Sección rectangular: El valor máximo vale $\tau _{M}={\frac {V.h^{2}}{8.I_{y}}}$ siendo $I_{z}={\frac {b.h^{3}}{12}}$, luego $\tau _{M}={\frac {3.V}{2.b.h}}$

Puesto que definimos como $\tau _{m}={\frac {V}{b.h}}$, por consiguiente ${\frac {\tau _{M}}{\tau _{m}}}=1,5$

es decir, la tensión máxima en cualquier sección, a lo largo de x, es un 50% mayor que la media.

b) Sección circular: Análogamente, se deduce que ${\frac {\tau _{M}}{\tau _{m}}}={\frac {4}{3}}$

en este caso, la tensión máxima en cualquier sección, a lo largo de x, es un 33% mayor que la media.

. c) Sección en I: $\tau _{M}={\frac {V}{8.b_{1}.I_{y}}}.[b.h^{2}-h_{1}^{2}.(b-b_{1})]$

El valor mínimo vale en este caso: $\tau _{o}={\frac {V.b}{8.b_{1}.I_{y}}}.(h^{2}-h_{1}^{2})$

En los perfiles laminados estándar el valor de $b_{1}$ es pequeño en relación con el de $b$ y puede considerarse, a efectos prácticos, que Lla diferencia $b-b_{1}$ es muy pequeña , y por tanto, que la diferencia entre la tensión cortante máxima $\tau _{M}$ –en el plano neutro– y la mínima $\tau _{o}$ –en el plano superficial– es también pequeña y en por lo tanto, ambas próximas al valor medio. En este caso se puede admitir que el esfuerzo cortante presenta una distribución casi uniforme a lo largo del alma del perfil.

El valor de la sección a considerar viene dado, para cada perfil, en las tablas correspondientes como "Área de cortante" (Norma EC-3, art. 5.4.6.(2).a).

Los esfuerzos por Flexión en las Vigas

• Observaciones preliminares

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En todo lo que sigue, se supone que:

a) Los materiales de las vigas (acero laminado) se comportan como sólidos de Hooke y son perfectamente homogéneos en todas las direcciones (isótropos).

b) Las cargas sobre una viga se sitúan siempre en el plano (y,z) de las figuras 1

c) La línea media de la viga es una curva plana.

d) La línea media de toda la viga está situada en un mismo plano. En lo que sigue, se tratará siempre del plano (x, y).

e) Cuando actúa una fuerza sobre la estructura, en la ecuación fundamental:

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mu {\frac {dx}{dt}}+k.x=P(t)$

las derivadas con respecto al tiempo se suponen nulas; es decir, los movimientos se realizan con una velocidad infinitamente pequeña (cambios de estado termodinámicamente reversibles) y no se contempla régimen transitorio alguno. Las cargas que actúan sobre las vigas se hallan en equilibrio estático, no considerándose las consecuencias de los períodos transitorios.

f) El trabajo realizado por las fuerzas que provocan las deformaciones de las vigas se emplea íntegramente en incrementar su energía interna (energía elástica). No se produce intercambio alguno de calor y se conservan todas las propiedades del acero en todo momento.

• Efecto de las fuerzas actuantes

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Sea cual sea la forma de la sección transversal de la viga, así como la manera como esté apoyada en sus extremos (incluido el caso de la viga en voladizo), y sea cual sea la distribución de las cargas a lo largo de x (puntuales o distribuidas de manera continua), la viga sufre una flexión que provoca la aparición de tensiones de extensión y compresión en sus diferentes secciones transversales. La máxima extensión en cualquier sección recta se produce en uno de sus extremos, tomando la tensión de extensión un valor nulo en la llamada fibra neutra, que se sitúa en el centro de gravedad de la sección considerada. Véase la Figura 2.

El valor de esta tensión máxima de extensión en una sección dada de abcisa x, viene dado por la expresión:

$\sigma (x)={\frac {M(x).d}{I_{y}}}$ en la que:

$\sigma$: valor de la tensión (fuerza/sección)

$M(x)$: momento flector actuando en la sección x (fuerza por longitud)

$d$: distancia entre la fibra más alejada de la línea neutra y esta

$I_{y}$: momento de inercia de la sección de la viga, respecto al eje y que pasa por su centro de gravedad (longitud a la potencia cuatro)

Al mismo tiempo se produce una flexión de la viga, que adquiere una forma determinada tanto por la distribución y valor de las cargas, como por la forma de la sección de la viga y la manera como está apoyada en sus extremos. La forma que toma esa viga, se representa por la ecuación de la línea neutra: $v(x)=\psi (x)$ que se suele denominar ecuación de la elástica de la viga. El valor f, en cualquier punto x de la viga,

f(x) = |v(x)| se denomina flecha de la viga en ese punto. Su valor máximo a lo largo de x, representa la máxima deformación sufrida por esta a causa de las cargas que soporta.

En la flecha y tensión máximas intervienen dos tipos de fenómenos:

a) de índole externa: la magnitud de las cargas y su distribución

b) de índole propia de la viga: sus dimensiones, y como una consecuencia directa de ellas, la altura de la viga (d) y el Momento de Inercia ($I_{y}$).

Un simple análisis dimensional del problema nos conduce a las expresiones siguientes:

$M(x)=(\sum _{k=1}^{n}P_{k}).\Gamma (L,x)$

$v(x)={\frac {\sum _{k=1}^{n}P_{k}}{E.I_{y}}}.\Psi (L,x)$

En las que:

$M(x)$: Momento flector actuando en la sección transversal x

$\Sigma P$ : conjunto de cargas, continuas o discontinuas o combinación de ambas

$E$: módulo de elasticidad

$I_{y}$: momento de inercia de la sección de la viga con relación al eje y

$v(x)$: la flecha en la sección x

$\Gamma (L,x)$ y $\Psi (L,x)$ son funciones dependientes de la forma en que se distribuyen las cargas sobre la viga de longitud entre apoyos L y de la forma de los apoyos en los extremos. En la bibliografía pueden encontrarse tablas en las que se recogen los diferentes valores de estas funciones(1).

Del análisis de estas expresiones se deducen los valores máximos de $\sigma$ y v. Estos deberán estar por debajo de los fijados como límite en el proyecto del que forman parte.

Puestos que las cargas a que se verá sometida la viga son un dato del problema (externo a la decisión del proyectista), el resto de los valores pueden y deben ser elegidos por el proyectista de manera a optimizar el resultado de la estructura en estudio. Los criterios de optimización suelen ser frecuentemente de naturaleza económica, que a su vez está directamente unida al peso de la estructura y al costo de la mano de obra para construirla. El peso de la estructura depende de la sección del (o de los) perfil(es) y su longitud; esta última suele ser un imperativo derivado del propio proyecto.

Si el momento flector en una sección dada es nulo, se deduce inmediatamente que las tensiones de extensión por flexión son nulas. Este el es caso de vigas apoyadas en extremos que pueden tener un giro libre alrededor del eje y. Es el caso, por ejemplo, de los dos extremos de la figura 1a, o del extremo izquierdo en la 1b. No ocurre lo mismo en los extremos empotrados, donde los momentos se producen en función de las cargas y de la rigidez del material (módulo de elasticidad E).

Las Tensiones Combinadas en las Vigas

En una viga cualquiera, apoyada en sus extremos de la forma que sea (véase la Figura 1c, como ejemplo), cargada con un conjunto de fuerzas "P1… Pi … Pn" situadas en abcisas x1 … xi … xn, alcanzado su equilibrio estático, en la sección recta de abcisa x se cumple:

Momento flector: "M(x) = - M1 + R1.x - P1.(x - x1) - P2.(x - x2) - … - Pi.(x - xi)"

Fuerza cortante: V (x) = R1 - P1 - P2 - … - Pi

En otra sección recta de abcisa $(x+\Delta x)$ será:

M(x + $\Delta x$) = - M1 + R1.( x + $\Delta x$) - P1.( x + $\Delta x$ - x1) - P2.( x + $\Delta x$- x2) - … - Pi.( x + $\Delta x$ - xi)

La variación del momento flector entre estas dos secciones rectas valdrá:

M(x + $\Delta x$) - M(x) = R1.$\Delta x$ - P1.$\Delta x$ - P2.$\Delta x$- … - Pi.$\Delta x$

M(x + $\Delta x$) - M(x) = $\Delta M$ = $\Delta x$.(R1 - P1 - P2 - … - )Pi) = V.$\Delta x$

La relación entre la variación del momento flector de cada sección recta de la viga con la fuerza cortante actuando sobre esa sección, viene dada por:

$V(x)={\frac {\Delta M(x)}{\Delta x}}$

Para cargas continuas, el paso al límite de la expresión anterior conduciría a:

$V(x)={\frac {dM(x)}{dx}}$

La consecuencia de todo esto es que cuando el momento flector a lo largo de la viga, pasa por un máximo, en esa sección la fuerza cortante es nula. En vigas cargadas de manera regular, este máximo se produce cerca del punto medio, donde las tensiones de extensión (o compresión) serán máximas y las cortantes nulas (véase 1.3.2 y 1.3.3). Por las mismas razones, en los puntos de apoyo, la fuerza cortante nunca es nula e igual a la fuerza de reacción en el mismo (V(0) = R1 y V(L) = R2). Cuando uno de los extremos está empotrado, el momento flector en ese extremo tampoco es nulo y por lo tanto en esa sección se producen tensiones de flexión $\sigma (z)$ (en dirección x, figura 2) a la vez que tensiones cortantes $\tau (z)$ (dirección z).

Como ya se ha visto (1.3.3), en la línea de la sección recta de la viga en la que $\sigma (0)=0$ (línea neutra), $\tau (0)$es máxima, y recíprocamente. Sólo en partes de la sección, intermedias entre un extremo de la sección y la línea neutra, pueden darse valores no nulos de las dos tensiones.

Para que el diseño de la viga sea aceptado para un proyecto estable, deberá cumplirse, en todas sus secciones rectas, que:

$\sigma (x,z)<{\sqrt {\sigma (x,z)^{2}+3.\tau (x,z)^{2}}}$.

El cálculo de vigas apoyadas en dos extremos

Tal y como se ha visto, sea cual sea la distribución de las cargas de las que se ha hablado anteriormente, así como la forma del perfil transversal de la viga (forma en el plano $yz)$ y sus forma de apoyo en los extremos, las tensiones máximas y la flecha pueden expresarse mediante las fórmulas generales ya expresadas anteriormente y que se resumen así (ver Figuras 1 y 2):

$R_{1}+R_{2}=\sum _{k=1}^{n}P_{k}$

$M_{M}(x)=(\sum _{k=1}^{n}P_{k}).\Gamma (L,x)$

$\sigma (x)={\frac {M_{M}(x).d}{I_{y}}}$

$v_{M}(x)={\frac {\sum _{k=1}^{n}P_{k}}{E.I_{y}}}.\Psi (L,x)$

En las que:

• $R_{1},R_{2}$ : Reacción en los apoyos.

• $M_{M}(x)$: Momento flector máximo (generalmente de extensión).

• $v_{M}(x)$: Flecha máxima

• $\Sigma P$: Cargas, continuas o discontinuas o combinación de ambas.

• $d$ : Semialtura de la sección transversal $yz$ de la viga.

• $Av,y$: Área de la sección, resistente al esfuerzo cortante.

• $\Psi (L,x)$: Función dependiente de la distribución de las cargas en relación con los apoyos.

• $\Gamma (L,x)$: Función dependiente de la distribución de las cargas

• $E$: Módulo de elasticidad.

• $Iy$: Momento de Inercia de la sección A de la viga con relación al eje paralelo a $y$ que pasa por su centro de gravedad.

En la flecha y tensión máximas intervienen dos tipos de parámetros:

a) de índole externa: la magnitud de las cargas y su distribución, $\Psi (L,x)$ y $\Gamma (L,x)$.

b) propios de la viga: sus dimensiones, y como una consecuencia directa de ellas, la altura de la viga (d) y el Momento de Inercia (Iy) respecto al eje perpendicular a la dirección de las cargas.

Los de índole externa provienen de los datos del problema.

Los propios, pueden y deben ser elegidas por el proyectista de manera a optimizar el resultado de la estructura en estudio. Los criterios de optimización suelen ser frecuentemente, de naturaleza económica, que a su vez está directamente unida al peso de la estructura y al costo de la mano de obra para construirla.

El peso de la estructura depende de la sección del (o de los) perfil(es) y su longitud; esta última suele ser un imperativo derivado del propio proyecto.

El costo de la mano de obra para construir una estructura viene siendo cada vez más importante en su costo final. La automatización, progresivamente más sofisticada, de la preparación de vigas a partir de elementos laminados estándar (perfiles, planchas, etc.) conduce al proyectista a elegir preferentemente perfiles "llenos" frente a las antiguas "vigas en celosía", que si bien, para igual resistencia, suponen la utilización de menores cantidades de acero, implican una intervención mucho mayor de mano de obra especializada, cada vez más cara.

Fijada por las especificaciones del proyecto, la flecha máxima admisible ($v_{M}$), se determina el valor mínimo necesario del Momento de Inercia de la sección de la viga:

$I_{y}\geq {\frac {(\sum _{k=1}^{n}P_{k})}{E.v_{M}}}.\Psi (L,x)$

A este valor le corresponde otro de d:

$2.d=h\leq {\frac {2.I_{y}.\sigma _{M}}{(\sum _{k=1}^{n}P_{k}).\Gamma (L,x)}}$

Con los resultados de estas dos inecuaciones se entra en las tablas de perfiles comerciales y se elige aquel que, situándose dentro de los márgenes señalados, presenta la menos sección A (o el menor coste).

Ejemplo ilustrativo

Viga empotrada en ambos extremos, uniformemente cargada y con una carga puntual en el centro

• Carga uniforme, Q = 1000 N (incluye 65 N de supuesto peso propio de la viga)
• Carga puntual en el centro, P = 0 N

• Longitud libre, 1800 mm

• Valores de referencia del proyecto:

• $v_{M}\leq {\frac {L}{1000}}=5mm$

• $\sigma _{M}\leq 150{\frac {N}{mm^{2}}}$; $\tau _{M}\leq 86{\frac {N}{mm^{2}}}$

• $E=210.000{\frac {N}{mm^{2}}}$

• $R_{1}+R_{2}=\sum _{k=1}^{n}P_{k}=1.010.000N$

• $\Gamma _{1}(L)={\frac {L}{24}}$; $\Gamma _{2}(L)={\frac {L}{8}}$

• $\Psi _{1}(L)={\frac {L^{3}}{384}}$; $\Psi _{2}(L)={\frac {L^{3}}{192}}$

• Aplicando las ecuaciones e inecuaciones anteriores:

• $I_{y}\geq {\frac {(\sum _{k=1}^{n}P_{k})}{E.v_{M}}}.\Psi (L)=316,22.10^{6}mm^{4}$

• $h\leq {\frac {2.I_{y}.\sigma _{M}}{(\sum _{k=1}^{n}P_{k}).\Gamma (L}}=224,314mm$

Con el fin de facilitar la búsqueda del perfil más adecuado en las tablas correspondientes (ver Bibliografía), proporcionamos un ábaco (ejemplo de otros similares que pueden ser trazados por los proyectistas), sobre el cual se debe trazar una recta entre dos puntos:

• (Ir a Abaco de Perfiles Laminados)
• $Para\;v=2\;mm$
  • $2.d=h=560,8\;mm$
  • $Iy=790,6\;mm^{4}$
• $Para\;v=5\;mm$
  • $2.d=h=224,3\;mm$
  • $Iy=316,2\;mm^{4}$

Esta línea corta las curvas correspondientes a los diferentes perfiles que cumplen las condiciones impuestas. En este caso son IPN 500 y HE450A. Entre ellos, el que supone el menor uso de acero es el perfil HE450A, para el que se obtienen los resultados siguientes:

Peso propio de la viga : 7.000 N

$\sigma _{M}=148,9{\frac {N}{mm^{2}}}$

$v_{M}=2,5\;mm$

$\tau _{M}=76,5{\frac {N}{mm^{2}}}$

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